중학생이 AI와 함께 수학 추측을 증명했다? ‘자기 자신을 통과 못 하는 입체’와 클로드 활용법을 초보도 쉽게

테크부터 경제, 생활까지. 복잡한 소식을 쉽게 풀어봅니다.

똑같이 생긴 주사위 두 개가 있다고 상상해 보세요. 한 주사위에 구멍을 뚫어서, 다른 주사위를 그 구멍으로 쏙 통과시킬 수 있을까요? 대부분은 “말도 안 돼, 크기가 똑같은데?”라고 답할 거예요. 그런데 놀랍게도 정답은 “된다”입니다. 그리고 이 질문은 330년 넘게 수학자들을 붙잡아 온 퍼즐로 이어졌어요.

이번 주말 개발자 커뮤니티 긱뉴스(GeekNews)와 해외 커뮤니티 레딧에서 화제가 된 소식은 바로 이 퍼즐에서 나왔습니다. 경기도의 중학교 3학년 정기효 학생이 AI ‘클로드(Claude)’의 도움을 받아, 해외 수학자들이 2021년에 남긴 추측 “마름모십이이십면체는 자기 자신을 통과할 수 없다”를 컴퓨터 보조 증명으로 풀었다고 밝힌 거예요. 논문은 10월 5일 공개 논문 저장소 ‘제노도(Zenodo)’에 올라왔고, 계산에 쓴 코드도 모두 공개됐습니다. 도대체 어떤 문제이고, AI는 무엇을 했으며, 우리는 여기서 무엇을 배울 수 있을지 초보 눈높이로 하나씩 풀어 볼게요.

한 줄로 먼저

• 어떤 입체에 곧은 구멍을 뚫어 똑같은 크기의 자기 자신을 통과시킬 수 있으면 ‘루퍼트(Rupert) 성질’이 있다고 해요. 정육면체는 1693년 기록부터 “된다”가 알려졌어요.
• 2025년 8월 오스트리아 연구자 두 명이 처음으로 “절대 안 되는” 볼록 입체(노퍼테드론)를 찾아내 큰 화제가 됐고, 그들이 2021년에 “이것도 안 될 것”이라고 짐작한 입체가 바로 마름모십이이십면체였어요.
• 중3 학생이 이 짐작을 증명했다고 밝혔고, 논문에 “문제 선택과 방향은 내가, 자료 조사·논증·코드·계산·초안 작성은 클로드가 크게 도왔다”고 AI 사용 내역을 적어 두었어요. 다만 아직 학술지 동료 심사 전인 프리프린트입니다.

한눈에 보는 이번 소식

항목	내용
무엇을	“마름모십이이십면체(rhombicosidodecahedron)는 루퍼트가 아니다”라는 추측의 컴퓨터 보조 증명
누가	경기도 중학교 3학년 정기효 학생(논문 저자명 Gihyo Jung)
AI의 역할	앤트로픽의 AI 클로드를 연구 보조로 사용 — 자료 조사, 수학 논증 전개, 프로그램 작성, 계산 실행, 원고 초안
학생의 역할	문제 선택, 연구 방향 결정, 단계별 판단, 손으로 쓴 증명 전체 재검토(이 과정에서 오류 여러 개를 발견·수정)
공개 시점	2026년 10월 5일 제노도에 프리프린트 공개, 이번 주말 긱뉴스·레딧에서 화제
검증 방법	가능한 배치 전체를 약 1,230만 개의 작은 상자로 나눠 모두 확인, 실패 0건(논문 기준)
남은 단계	본인 설명에 따르면 추측을 처음 낸 연구자의 추천으로 논문 사이트 arXiv(아카이브)에 제출해 공개 예정. 학술지 동료 심사는 아직

먼저 용어부터: 낯선 단어 7개

단어가 어려워 보여도 뜻은 생각보다 단순해요. 이 표만 보고 넘어가도 이번 이야기를 따라가는 데 충분합니다.

용어	쉽게 말하면
루퍼트 성질	입체에 곧은 터널을 뚫어 똑같은 크기의 복사본을 통과시킬 수 있는 성질. 17세기 영국의 루퍼트 왕자가 걸었던 내기에서 이름이 왔어요.
노퍼트(Nopert)	‘루퍼트’와 ‘노프(nope, 아니)’를 합친 말. 어떻게 뚫어도 통과가 안 되는 입체를 말해요.
볼록 다면체	평평한 면으로만 둘러싸이고 움푹 들어간 곳이 없는 입체. 주사위, 축구공 모양 등
아르키메데스 입체	두 종류 이상의 정다각형이 모든 꼭짓점에서 같은 모양으로 만나는 입체 13가지. 축구공(깎은 정이십면체)도 여기에 속해요.
마름모십이이십면체	아르키메데스 입체 중 하나. 정삼각형 20개 + 정사각형 30개 + 정오각형 12개, 모두 62개의 면
컴퓨터 보조 증명	사람이 세운 논리 위에서, 사람이 손으로 다 할 수 없는 엄청난 양의 확인을 컴퓨터가 빠짐없이 해 주는 증명 방식
프리프린트	학술지 심사를 받기 전에 먼저 공개한 논문. 누구나 읽고 검토할 수 있지만 아직 공식 검증 전이에요.

주사위가 주사위를 통과하는 비밀: ‘그림자’

핵심 아이디어는 그림자예요. 위에서 빛을 비춘다고 생각해 볼게요. 주사위를 평범하게 놓으면 바닥에 생기는 그림자는 정사각형입니다. 그런데 주사위를 꼭짓점이 위를 향하도록 세우면 그림자가 정육각형이 돼요. 그리고 이 육각형 안에 정사각형 그림자가 아슬아슬하게 쏙 들어갑니다.

그림자 안에 그림자가 들어간다는 건, 위아래로 곧게 터널을 뚫으면 다른 주사위가 그 터널을 지나갈 수 있다는 뜻이에요. 그래서 수학자들은 이 문제를 “입체를 이리저리 돌려 가며 한 그림자가 다른 그림자 안에 들어가는 방향이 있는지 찾는 문제”로 바꿔서 풉니다.

누가·언제	찾아낸 것	얼마나 아슬아슬한가
존 월리스, 1693년 기록	주사위의 대각선 방향으로 터널을 뚫으면 같은 크기의 주사위가 통과	두 번째 주사위가 4%만 커져도 안 들어감
피터르 니우란트, 약 100년 뒤	더 좋은 방향을 찾아냄	6% 넘게 더 큰 주사위도 통과 가능
그 뒤 수학자·취미 연구자들	정사면체·정팔면체(1968년), 정십이면체·정이십면체·축구공 모양 등도 통과 방향 발견	어떤 입체는 여유가 반지름의 약 0.000002배밖에 안 될 만큼 빠듯

이렇게 “통과되는” 입체가 계속 발견되다 보니, 2017년에는 “모든 볼록 다면체는 루퍼트 성질이 있다”는 추측까지 나왔어요. 그런데 몇몇 입체만은 아무리 컴퓨터를 돌려도 통로가 나오지 않았습니다. 그 대표 주자가 바로 오늘의 주인공, 마름모십이이십면체예요.

오늘의 주인공, 마름모십이이십면체는 어떤 모양?

이름은 길지만 생김새는 친숙해요. 축구공보다 조금 더 동글동글한, 세모·네모·오각형이 섞인 보석 같은 공을 떠올리면 됩니다. 위 첫 번째 그림 한가운데 있는 입체가 이 모양을 실제 좌표로 그린 거예요.

특징	숫자	왜 중요할까
면	62개(삼각형 20, 사각형 30, 오각형 12)	면이 많고 둥글어서 어느 방향에서 봐도 그림자 크기가 비슷해요.
꼭짓점	60개	모든 꼭짓점이 똑같은 모양으로 둘러싸여 있어요.
모서리	120개	—
대칭	대칭 방법이 120가지	대칭이 많을수록 “그림자가 딱 겹치는” 특별한 순간이 많아져 증명이 까다로워져요.
아르키메데스 입체 중 위치	13개 가운데 루퍼트 여부가 풀리지 않은 3개 중 하나	나머지 10개는 이미 “통과된다”고 증명됐어요. 다른 둘(다듬은 정육면체, 다듬은 십이면체)은 아직 미해결이에요.

미국 존스홉킨스대의 벤저민 그리머 교수는 2025년 과학 매체 콴타매거진 인터뷰에서 이 입체로 통로를 찾으려고 컴퓨터를 2주 동안 돌렸지만 번번이 실패했다고 말했어요. 2025년 9월 공개된 또 다른 연구도 입체마다 약 180시간씩 계산했지만 통로를 찾지 못했고요. 문제는 “못 찾았다”와 “없다”는 전혀 다른 말이라는 점이에요. 돌리는 방향은 무한히 많기 때문에, 진짜 “없다”를 말하려면 모든 경우를 빠짐없이 지우는 증명이 필요합니다.

330년 퍼즐, 연표로 한 번에

시기	사건
1693년	수학자 존 월리스가 루퍼트 왕자의 내기를 기록하고, 정육면체가 자기 자신을 통과할 수 있음을 수학적으로 보임
1968년	정사면체와 정팔면체도 루퍼트 성질이 있다는 증명
최근 10여 년	전문 수학자와 취미 연구자들이 컴퓨터를 활용해 정십이면체·정이십면체·축구공 모양 등 유명 입체에서 통로를 잇따라 발견
2017년	“모든 볼록 다면체는 루퍼트 성질이 있다”는 추측 등장
2021년	오스트리아의 야코프 슈타이닝어·세르게이 유르케비치가 아르키메데스 입체 하나를 새로 해결해 “통과되는” 입체를 10개로 늘리고, “마름모십이이십면체는 루퍼트가 아닐 것”이라고 추측
2025년 8월	같은 두 사람이 90개 꼭짓점·152개 면의 ‘노퍼테드론’을 만들어 “통과 불가” 첫 증명 → 2017년 추측이 깨짐
2026년 10월 5일	중3 정기효 학생이 클로드와 함께 마름모십이이십면체가 루퍼트가 아님을 증명한 프리프린트 공개

어떻게 증명했을까: 1,230만 칸 지우기

넓은 운동장에서 잃어버린 반지를 찾는다고 해 볼게요. “반지가 없다”를 확실히 말하려면 운동장을 바둑판처럼 잘게 나누고, 칸마다 “여기엔 없다”를 하나도 빠짐없이 확인해야 하죠. 이번 증명도 똑같아요. 두 입체를 돌리는 모든 방법을 하나의 거대한 ‘운동장’으로 보고, 이를 잘게 나눈 뒤 칸마다 “여기서는 그림자가 안 들어간다”를 확인했습니다.

여기서 중요한 장치가 ‘구간 연산’이에요. 컴퓨터 계산에는 아주 작은 반올림 오차가 생기는데, 구간 연산은 값을 하나의 숫자가 아니라 “이 범위 안에 반드시 있다”는 넉넉한 범위로 다뤄요. 늘 바깥쪽으로 넉넉하게 재는 자를 쓰는 셈이라, 오차 때문에 잘못된 결론이 나올 틈을 막아 줍니다.

구분	노퍼테드론 증명(2025)	이번 마름모십이이십면체 증명(2026)
연구자	슈타이닝어·유르케비치(오스트리아)	정기효(중3) + AI 연구 보조 클로드
대상	증명하기 좋게 직접 설계한 입체(꼭짓점 90개)	원래부터 있던 유명한 입체(꼭짓점 60개)
쪼갠 칸 수	약 1,800만 개	약 1,230만 개(+ 특이 지점 주변 수백만 개 상자)
핵심 난관	“세 꼭짓점 조건”을 만족하는 입체 찾기	대칭이 많아 기존 방법이 막히는 특이 지점 4곳 처리
새로 만든 도구	전역 정리·국소 정리	기존 두 정리 + 새 정리 3개(특이 지점 근처를 다루는 방법)

노퍼테드론의 두 연구자는 사실 자기 방법이 마름모십이이십면체에는 그대로 통하지 않는다고 설명했었어요. 대칭이 너무 많다 보니 두 그림자가 정확히 겹치는 순간이 여기저기 생기고, 특히 네 군데에서는 기존 도구가 힘을 잃었거든요. 이번 논문은 그 네 지점의 정확한 위치를 찾아내고, 그 주변을 따로 처리하는 새 정리를 세워 빈틈을 메웠다고 설명합니다.

숫자로 보는 증명	값(논문 기준)
큰 칸(셀)	211,680개
잘게 나눈 최종 상자	약 1,230만 개 — 실패 0건
특이 지점 주변 상자	약 361만 개 — 실패 0건
정확한 수식으로 확인한 구조 조건	3,700여 건 — 위반 0건
계산 시간	칸 전체 확인에 약 38 CPU시간, 노트북(6코어)으로 전체 며칠
교차 검증	서로 다르게 짠 두 번째·세 번째 프로그램으로 표본 재확인, 모두 일치

AI는 무엇을 했고, 학생은 무엇을 했나

이 소식에서 가장 눈여겨볼 대목은 “AI가 수학 문제를 풀었다”가 아니라 역할 분담을 아주 솔직하게 적었다는 점이에요. 논문에는 ‘AI 사용’이라는 항목이 따로 있고, 학생이 무엇을 했고 클로드가 무엇을 했는지가 나뉘어 있어요.

학생이 한 일	클로드가 한 일
어떤 문제에 도전할지 고르기	관련 논문 찾기(문헌 조사)
단계마다 어떻게 나아갈지 결정하기	수학 논증을 함께 전개하기
계산이 도는 동안 손으로 쓴 증명을 전부 다시 검토하자고 제안 → 최종 계산 전에 오류 여러 개 발견·수정	검증 프로그램 작성, 두 번째·세 번째 확인용 프로그램도 작성
상당 부분의 계산을 자기 컴퓨터로 돌리고 끝까지 지켜보기	계산 실행 보조
공개 저장소 정리	논문 원고 초안 작성

논문은 이렇게 덧붙여요. “이 증명은 독자에게 AI를 믿어 달라고 요구하지 않는다. 모든 내용은 논문 안에서 증명되고, 컴퓨터로 확인한 모든 내용은 공개된 프로그램과 결과 파일로 누구나 다시 확인할 수 있다.” AI를 썼다는 사실보다, AI 없이도 검증할 수 있게 만들었다는 점이 핵심이라는 뜻이에요.

학생은 긱뉴스에 올린 글에서, 해외 연구자 두 명(벤체 헤르바이, 오스카 스미스)도 비슷한 시기에 다른 방법으로 독립적으로 같은 결론을 증명했고 논문에서 서로 인용했다고 밝혔어요. 또 추측을 처음 낸 유르케비치의 추천으로 arXiv에 제출했고, 레딧 클로드 게시판에 올린 글은 조회수 약 60만 회로 그날 1위 게시물이 됐다고 적었습니다(모두 본인 설명).

오해와 사실

흔한 오해	실제로는
“AI가 혼자 수학 난제를 풀었다”	문제 선택·방향 결정·검토는 학생이 했고, AI는 연구 보조로 크게 기여했어요. 논문에 그 구분이 적혀 있어요.
“330년 된 난제가 풀렸다”	330년 전 시작된 건 ‘루퍼트 문제’ 전체예요. 이번에 풀린 건 그 안의 2021년 추측 하나(마름모십이이십면체)입니다.
“이제 확실히 증명된 사실이다”	아직 학술지 동료 심사 전이에요. 다만 코드와 결과가 공개돼 누구나 재검증할 수 있고, 다른 연구자들도 독립적으로 같은 결론을 냈다고 해요.
“컴퓨터로 대충 많이 돌려 본 것”	“찾아봤는데 없었다”가 아니라, 모든 경우를 칸으로 덮고 칸마다 수학적으로 지운 증명이에요. 반올림 오차도 구간 연산으로 막았어요.
“AI 쓰면 공부를 안 해도 된다”	학생은 증명을 직접 손으로 검토하다 오류를 잡아냈어요. 이해 없이 맡겼다면 불가능했을 일이에요.

우리도 AI로 공부·연구할 때: 5가지 체크리스트

꼭 수학 논문이 아니어도 괜찮아요. 아이의 과제, 회사 보고서, 취미 프로젝트까지 AI와 함께하는 일에는 이번 사례에서 배울 점이 많습니다.

체크	어떻게	왜
1. 질문은 내가 고른다	“무엇을, 왜 알고 싶은지”를 먼저 내 말로 적기	방향을 쥔 사람이 결과에 책임질 수 있어요.
2. 답보다 과정을 받는다	AI에게 결론만 묻지 말고 근거·단계·코드를 함께 요청	중간 과정이 있어야 틀린 곳을 찾을 수 있어요.
3. 직접 다시 확인한다	숫자는 원문과 대조, 코드는 직접 실행, 논리는 손으로 따라가기	AI는 그럴듯하게 틀릴 수 있어요. 이번 학생도 검토로 오류를 잡았어요.
4. 다른 방법으로 교차 확인	다른 자료, 다른 계산 방식, 다른 사람에게 한 번 더	같은 실수를 반복하지 않게 해 줘요.
5. AI 사용을 밝힌다	과제·보고서에 “어디에 AI를 썼는지” 한두 줄 적기	신뢰를 지키고, 평가하는 사람도 판단하기 쉬워져요.

마무리

이번 소식을 한 문장으로 줄이면 “AI는 계산기를 넘어 연구 동료가 됐지만, 핸들은 여전히 사람이 잡는다”예요. 중학생이 330년 퍼즐의 한 조각을 맞췄다는 사실도 놀랍지만, 더 인상적인 건 무엇을 AI에게 맡겼는지 솔직하게 밝히고 누구나 다시 확인할 수 있게 모든 코드를 공개한 태도예요. 동료 심사라는 마지막 관문이 남아 있으니 결과는 조금 더 지켜봐야 하지만, AI와 함께 공부하는 모든 사람에게 좋은 본보기가 될 만한 이야기입니다. 오늘 AI에게 무언가를 물어본다면, 답을 받은 뒤 딱 한 번만 “정말 그런지” 직접 확인해 보세요.